VAR → lag polynomial → MA(∞) 표현 → IRF 해석까지 한 흐름으로 이어보자. 각 수식 카드의 행렬 크기 버튼을 누르면 항마다 행렬 크기가 표시된다 (K는 변수 개수, p는 시차 수).

Companion Form은 고차(high-order) VAR 모형을 VMA(Vector Moving Average) 모형으로 변환하기 위해 거쳐야 하는 ‘수학적 징검다리’ 역할을 합니다. VAR 기본 형태에서는 무한 차수의 VMA로 변환하기가 어렵습…

현실에서는 오차항 et들끼리 서로 상관관계가 있는 경우가 많습니다. 예를 들어, ‘환율 쇼크’와 ‘금리 쇼크’가 동시에 터지면 무엇 때문에 변수가 변했는지 알기 어렵습니다.

Σ는 et의 분산-공분산 행렬(Variance-Covariance Matrix)로, 충격반응분석에서 ‘변수들끼리 얼마나 엉켜있는지’를 보여주는 핵심 지도와 같습니다. 이 구조를 이해하면 왜 Cholesky 분해가 필요한지 명확해집니다.

충격반응함수(IRF)의 목적은 “A라는 변수 하나만 건드렸을 때 B가 어떻게 될까?”를 보는 것입니다. 하지만 e1t와 e2t가 서로 엉켜(cov ≠ 0) 있으면, A를 건드리는 순간 B도 같이 출렁이므로 ‘누구 때문인지’ 알 수가 없습니다.

복잡한 상관관계를 가진 Σ를 하삼각형 행렬(Lower Triangular Matrix) P와 그 전치행렬 P′의 곱으로 쪼갭니다.

Cholesky 분해에서 어떤 변수를 앞에 두느냐(Ordering)는 분석 결과에 직접 영향을 줍니다. 순서를 정할 때는 “어느 변수가 더 외생적(Exogenous)인가?”를 기준으로 경제 이론에 근거해 판단합니다.

분석 결과물로 나오는 IRF 그래프는 다음과 같이 해석합니다.

VAR 모델 계수들의 통계적 분포를 정의하고, 이를 통해 계수의 불확실성을 시뮬레이션(Monte Carlo Integration)하기 위한 준비 과정을 의미합니다. 핵심은 “우리가 추정한 값(β̂)이 얼마나 정확한가?”를 확률적으로 나타내는 것입니다.

최근에는 이런 순서 의존성 문제를 해결하기 위해, 변수 배열 순서에 영향을 받지 않는 일반화 분산분해(Generalized Variance Decomposition, GVD) 기법을 사용합니다.