RBC는 Real Business Cycle, 즉 실물경기변동 모형입니다. 경기변동의 핵심 원인을 통화나 가격 경직성보다는 주로 실물 충격에서 찾습니다. 초기 DSGE의 기본형이라고 볼 수 있습니다.

기본 구조

대표개인은 소비와 노동을 선택합니다.

기업은 자본과 노동을 사용해 생산합니다.

자본은 다음과 같이 축적됩니다. 지난 기에서 넘어온 자본에 이번 기 투자를 더하고, 그동안 닳아 없어진 몫을 뺍니다.

K_t로 묶으면 (1−δ)K_t + I_t가 되어 교재에서 흔히 보는 형태가 됩니다. 같은 식입니다.

위 식은 개인이 무엇을 극대화하는지만 적어 둔 것입니다. 개인 한 명 입장에서 보면 이 문제는 매기 두 가지를 고르는 일입니다.

앞의 선택은 한 시점을 딱 잘라 놓고 그 단면 안을 나누는 문제이고, 뒤의 선택은 오늘과 내일을 가로질러 나누는 문제입니다. 뒤에서는 각각 기간 내·기간 간 선택이라고 부릅니다.

공간적 관점 — 노동 vs 여가

노동과 여가의 선택은 어디로 갈 것인가의 문제입니다. 일을 하러 갈 것인지, 놀러 갈 것인지를 고르는 것이라 시간이 아니라 몸이 놓이는 자리를 나누는 셈입니다.

한 시점을 잘라 그 안을 들여다보면, 쓸 수 있는 시간은 이미 정해져 있습니다. 하루를 1로 두면 노동과 여가는 서로의 나머지가 됩니다. 노동시간은 L_t이므로 여가는 1−L_t입니다.

앞 절 효용함수의 φ ln(1−L_t)가 이 자리를 담당합니다. 소비 C_t가 늘면 효용이 오르고, 여가 1−L_t가 늘어도 효용이 오릅니다. 노동 L_t가 늘면 그만큼 여가가 줄어드니, 노동은 그 자체로 효용에서 치르는 비용입니다. 개인은 소비도 많이 하고 싶고 여가도 많이 갖고 싶지만 둘을 동시에 늘릴 수는 없습니다. 여가를 늘리면 노동이 줄고, 노동이 줄면 소득이 줄기 때문입니다.

그래서 여가는 공짜가 아닙니다. 한 시간 더 쉬면 그 시간에 받았을 임금을 포기하게 되므로, 여가 한 시간의 기회비용은 실질임금 w_t입니다.

시간적 관점 — 소비 vs 저축

이번에는 단면을 벗어나 오늘과 내일 사이를 봅니다. 번 돈은 지금 쓰거나 남겨서 다음 기에 쓸 수 있습니다. 지금 쓰면 오늘 효용을 얻고, 남기면 자본이 되어 다음 기에 더 큰 소비로 돌아옵니다.

왼쪽은 돈을 어디에 쓰는지, 오른쪽은 돈이 어디서 오는지입니다. 오늘 다 쓸 것인가 다음 기의 생산능력으로 남길 것인가가 이 한 줄에 담깁니다.

여기서 K_t는 t기에 정하는 다음 기의 자본이므로, 곧 오늘의 저축입니다. 앞의 자본 축적 식에서는 같은 것을 K_t+1로 적었습니다. 어느 쪽으로 적든 오늘 정해서 내일 쓰는 자본을 가리킵니다.

1. 일할 시간을 정함→
2. 노동소득·자본소득이 정해짐→
3. 소비와 저축으로 나눔→
4. 저축이 다음 기의 자본이 됨

개인은 소비와 여가에서 만족을 느낍니다. 그 만족을 숫자로 옮긴 것이 효용입니다. 그리고 개인은 이 효용을 최대한 많이 느끼려고 움직입니다. 그래서 매기 소비 C_t와 노동·여가를 골라 평생에 걸친 효용의 기대값을 가장 크게 만드는 것이 개인이 느끼는 감정.

두 선택 모두 한 단위 더 했을 때의 이득과 손해가 같아지는 지점에서 멈춥니다. 그 지점이 어디인지는 최적조건 — 저울 두 개에서 두 식으로 나옵니다.

개인이 가진 시간과 돈을 나눴다면, 기업은 생산요소를 얼마나 쓸지를 고릅니다. 노동 L_t와 자본 K_t−1을 빌려 상품을 만드는데, 얼마나 빌릴지가 기업의 문제입니다.

그 생산은 다음 함수를 따릅니다.

α는 생산에서 자본이 차지하는 정도이고, 나머지 1−α가 노동의 몫입니다. 둘을 더하면 1이 되므로, 번 것이 자본과 노동에 남김없이 나뉩니다.

기업이 손에 쥐는 것은 판 돈에서 임금과 자본 사용료를 뺀 나머지, 곧 이윤입니다. 기업은 이 이윤이 가장 커지도록 L_t와 K_t−1을 고릅니다.

노동을 한 단위 더 쓰면 생산이 늘지만 그만큼 임금을 더 줘야 합니다. 더 얻는 생산을 노동의 한계생산이라 하고, 기업은 이것이 임금과 같아지는 지점까지 고용합니다.

자본도 같은 방식입니다. 한 단위 더 써서 늘어나는 생산이 그 사용료와 같아지는 지점까지 씁니다.

두 식은 생산함수를 넣어 정리하면 훨씬 읽기 쉬워집니다. 완전경쟁이므로 요소가격이 각 요소의 한계생산과 같아진 결과입니다.

α가 자본소득분배율이라고 불리는 이유가 여기 있습니다. r_tK_t−1을 계산해 보면 정확히 αY_t가 됩니다.

마지막으로 A_t는 기술 수준입니다. 같은 노동과 자본을 넣어도 A_t가 높으면 더 많이 생산됩니다. 이 값이 매기 변하는 확률변수라는 점이 RBC가 경기변동을 설명하는 출발점입니다.

개인과 기업을 따로 풀지 않고, 한 사람이 경제 전체를 대신 고른다고 놓아 봅니다. 이 사람을 사회계획자라 합니다. 얼마를 쓰고 얼마를 남길지, 얼마나 일할지를 한 번에 정합니다. 이렇게 놓아도 답이 같은 이유는 뒤의 세 개의 문제를 하나로에서 다룹니다.

보통 DSGE는 손으로 풀리지 않아 컴퓨터로 근사합니다. 그런데 가정을 하나만 더 얹으면 이 모형은 정확한 해가 그대로 떨어집니다.해가 어떤 모양인지 미리 보고 나면 뒤에 나오는 근사 이야기가 훨씬 쉬워집니다.

생산한 것은 남김없이 쓰인다

경제 전체를 보면 만든 것은 두 곳으로만 갑니다. 지금 먹어 없애거나(소비), 다음을 위해 쌓거나(투자)입니다. 이것이 시장청산조건입니다.

계획자가 푸는 문제

계획자는 생산함수와 자원제약만 놓고 두 가지를 고릅니다.

괄호 하나가 한 시점입니다. 0기부터 끝없이 이어지며,β가 시점마다 곱해져 먼 미래일수록 값이 작아집니다. 고를 것이 둘로 줄었습니다.

계획자에게는 임금도 이자율도 필요 없습니다. 가격은 개인과 기업이 따로 움직일 때 서로를 이어 주는 신호인데, 여기서는 한 사람이 다 정하기 때문입니다.

1계 조건 — 두 번 미분

고를 것이 K_t+1과 L_t 둘이니 미분도 두 번입니다. 목적함수를 각각으로 미분해 0으로 놓으면 아래 두 식이 나옵니다.

분모의 Y_t − K_t+1은 소비 C_t입니다. 그렇게 읽으면 위는 오일러 방정식, 아래는 노동·여가 조건이라는 것이 바로 보입니다. 아래 두 절에서 이 두 식에 추측을 넣어 봅니다.

추측하고 확인하기

해를 정면으로 구하는 대신 모양을 먼저 추측하고 최적조건에 넣어 맞는지 보는 방법이 있습니다. 여기서는 매기 생산의 일정 비율을 남긴다고 추측합니다.

오일러 방정식에 넣어 보면 이 추측이 실제로 맞습니다. 맞다는 것이 확인되면 나머지는 산수입니다. 소비는 남긴 것을 뺀 나머지이므로 바로 나옵니다.

경기가 좋든 나쁘든 생산의 같은 비율을 쓰고 같은 비율을 남깁니다. 소비와 투자가 산출을 그대로 따라 움직인다는 뜻입니다.

노동이 움직이지 않는다

이것을 노동의 최적조건에 넣으면 더 놀라운 결과가 나옵니다.

오른쪽에 t가 하나도 없습니다. 시점에 따라 변하는 것이 없으니L_t는 상수입니다. 생산성이 오르내려도 이 모형에서 노동시간은 꿈쩍하지 않습니다.

노동이 정해지면 나머지도 줄줄이 따라 나옵니다. 임금과 자본수익률은 앞의 기업 상황에서 구한 요소가격 식에 넣기만 하면 됩니다.

임금이 산출에 정비례합니다. 생산성이 올라 Y_t가 커지면 임금도 같은 비율로 오릅니다. 그런데도 노동시간은 그대로입니다. 왜 그런지가 다음 문단입니다.

생산성이 오르면 임금이 올라 더 일할 유인이 생기지만, 동시에 소비가 늘어 쉬는 것의 값어치도 같이 올라갑니다. 로그효용에서는 이 둘이 정확히 상쇄됩니다.

1. 생산성 A↑→
2. 산출 Y↑→
3. 소비 C↑ · 투자 I↑→
4. 노동 L 은 그대로

이 절은 δ = 1이라는 특수한 경우였습니다. 일반적인 δ에서는 이렇게 깔끔한 해가 없어 정상상태 부근에서 펴는 방법을 씁니다. 그 이야기가 아래 왜 로그선형화를 하는가입니다.

같은 문제를 다른 자리에서 다시 풉니다. 이번에는 계획자가 없습니다. 개인이 시장에서 주어진 가격을 보고 스스로 고릅니다. 수많은 개인을 하나로 묶어 한 명처럼 다루므로 대표 행위자라고 합니다.

개인은 가격을 바꿀 힘이 없습니다. 주어진 w_t와 r_t를 보고 자기 살림만 맞춥니다. 제약은 앞서 본 예산제약 그대로입니다.

자원 한 단위의 값어치

제약이 붙은 극대화는 라그랑지안으로 한 번에 풉니다. 제약에 곱해 주는 λ_t가 핵심인데,지금 자원이 한 단위 더 생겼을 때 얻는 값어치라고 읽으면 됩니다.

첫 줄을 나머지 둘에 넣어 λ를 지우면, 앞에서 본 두 식이 그대로 나옵니다. 가격을 보고 고르든 계획자가 정하든 답이 같다는 뜻입니다.

위는 한 시점 안에서 시간을 나누는 문제이고, 아래는 시점 사이에서 자원을 나누는 문제입니다. w_t가 노동과 여가를 잇는 가격이고,R_t+1이 오늘 소비와 내일 소비를 잇는 가격입니다.

임금이 오르면 더 일할까

생산성이 오르면 노동의 한계생산이 커져 임금이 오릅니다. 지금 일하는 값이 커졌으니 더 일하려는 힘이 생깁니다. 임금이 높은 때 더 일하고 낮은 때 쉬는 것을 기간 간 노동대체라고 합니다.

그런데 반대 방향의 힘도 같이 생깁니다. 생산이 늘어 소비가 커지면 살림이 넉넉해지고, 넉넉해지면 쉬는 것의 값어치도 함께 올라갑니다.

1. 임금 w↑ → 더 일하려는 힘→
2. 소비 C↑ → 더 쉬려는 힘

앞의 사회계획자에서 노동이 상수로 떨어진 것이 바로 이 두 힘 때문입니다. 로그효용과 δ = 1이라는 특수한 짝에서는 둘이 정확히 상쇄됩니다. 효용함수의 모양을 바꾸면 균형이 깨지고, 그때부터 노동시간이 경기를 따라 움직이기 시작합니다.

생산성은 보통 다음 과정을 따릅니다.

핵심 전달경로

양의 생산성 충격이 발생하면 다음과 같이 전달됩니다.

1. 생산성 A↑→
2. 노동생산성↑→
3. 생산↑→
4. 실질임금↑→
5. 소비·투자↑

세 개의 문제를 하나로

여기까지는 개인과 기업을 따로 세웠을 뿐입니다. 균형을 실제로 구하려면 둘을 이어 주는 예산제약·요소가격·시장청산이 더 필요합니다.

이 가운데 예산제약은 개인 상황에서, 요소가격은 기업 상황에서 이미 세웠습니다. 남은 하나는 시장청산입니다. 생산된 것은 소비와 투자로 남김없이 쓰입니다.

이제 세 문제를 각각 풀 수도 있지만, 세금·독점력·외부효과 같은 왜곡이 없다면후생경제학 제2정리에 기대어 더 짧은 길을 택할 수 있습니다. 경쟁균형의 배분이 사회 전체의 효용을 극대화하는 배분과 일치하므로, 가상의 사회계획자가 자원제약 하나만 지키며 푸는 문제로 바꿔도 답이 같습니다.

w_t와 r_t가 사라진 것에 주목할 만합니다. 계획자에게는 가격이 필요 없습니다. 가격은 분권화된 시장이 같은 배분을 찾아가게 만드는 신호일 뿐이기 때문입니다.

최적조건 — 저울 두 개

계획자 문제를 풀면 매기 두 개의 선택이 남습니다. 하나는 오늘의 시간을 노동과 여가로 나누는 문제이고, 다른 하나는 오늘의 자원을 소비와 자본으로 나누는 문제입니다.

① 기간 내 — 여가와 임금

한 시간 더 일하면 소비가 늘지만 그만큼 쉴 시간이 줄어듭니다. 최적점에서는 여가를 한 단위 포기할 때의 효용비용이 그 시간에 받는 실질임금과 같아집니다.

소비가 많을수록 우변 w_t/C_t가 작아지므로 같은 임금으로는 더 일할 유인이 줄고, 임금이 오르면 더 일하게 됩니다. RBC에서 노동시간이 경기에 따라 움직이는 통로가 바로 이 식입니다.

② 기간 간 — 오늘과 내일

오늘 한 단위를 소비하면 지금 효용을 얻고, 자본으로 남기면 다음 기에 R_t+1배로 불어난 것을 소비할 수 있습니다. 최적점에서는 둘이 같아집니다.

로그효용에서는 U′(C) = 1/C_t이고, 자본의 총수익률은 한계생산에 감가상각을 뺀 잔존분을 더한 값입니다. 둘을 넣으면 RBC의 중심 방정식이 됩니다.

괄호 안이 자본 한 단위를 오늘 심었을 때 내일 돌려받는 전부입니다. 생산에 기여한 몫 αY_t+1/K_t과 아직 닳지 않고 남은 몫 1−δ입니다.

왜 로그선형화를 하는가

여기까지 모으면 RBC는 자원제약·오일러 방정식·기술충격 세 식으로 닫힙니다. 문제는 지수와 분수가 섞인 비선형 확률차분방정식이라 대부분 해석적으로 풀리지 않는다는 점입니다.

그래서 충격이 없을 때 경제가 머무는 자리, 즉 정상상태를 먼저 구하고 그 근처에서만 성립하는 직선으로 바꿔 씁니다. 변수 자체가 아니라 정상상태에서 벗어난 비율을 새 변수로 씁니다.

k^t = 0.02는 자본이 정상상태보다 약 2% 많다는 뜻입니다. 이렇게 갈아타면 곱셈이 덧셈으로 바뀌어 앞의 세 식이 선형식 두 개로 줄어듭니다.

상태변수와 통제변수

선형 시스템을 풀기 전에 변수를 두 종류로 갈라 두어야 합니다. t기가 시작되는 순간 이미 정해져 있어 바꿀 수 없는 것과, 이번 기에 고르는 것입니다.

그러면 해는 자연스럽게 통제변수를 상태변수의 함수로 적은 형태가 됩니다. 이것을 정책함수라고 부르며, DSGE를 푼다는 말은 사실상 이 두 줄을 구한다는 뜻입니다.

여기에 생산성이 따르는 AR(1) 한 줄을 더하면 경제를 시간에 따라 굴릴 수 있습니다. 충격 ε을 한 번 주고 이 세 식을 반복해 돌린 것이 곧 충격반응함수(IRF)입니다.

1. 비선형 균형식→
2. 정상상태→
3. 로그선형화→
4. 정책함수→
5. 시뮬레이션 · IRF

캘리브레이션 — 모형에 실제 숫자를 넣기

정책함수를 구했어도 α, β, δ, φ, ρ_A, σ_ε 같은 구조 파라미터를 정하지 않으면 아무 숫자도 나오지 않습니다. 이 값들을 실제 경제의 장기적 특징에 맞춰 정하는 작업을캘리브레이션이라고 합니다.

캘리브레이션은 해를 구하는 방법이 아닙니다. 이미 풀린 구조모형을 숫자를 대 볼 수 있는 정량적 모형으로 바꾸는 단계입니다.

1. 구조 파라미터 Θ→
2. 로그선형화 계수 λ→
3. 정책함수 계수 a→
4. 가상 시계열→
5. 자료와 비교

값을 정하는 세 가지 길

첫째, 장기 평균을 그대로 가져옵니다. 완전경쟁 콥−더글러스에서는 자본소득분배율이 곧 α이므로, 국민계정에서 자본소득 비중이 3분의 1 남짓이면 α는 0.33 근처로 잡습니다.

둘째, 정상상태 관계식을 거꾸로 씁니다. 정상상태 오일러 방정식은 1 = β(α Y^*/K^* + 1−δ)이므로, 관측된 실질수익률을 알면 β가 정해지고 자본·산출 비율이 따라 나옵니다.

분기 실질수익률이 1%라면 β는 약 0.99입니다. 여기에 α = 0.33, δ = 0.025를 넣으면 자본·산출 비율이 분기 기준 9.4배, 연 기준 약 2.4배가 되고 투자 비중 δK^*/Y^*는 약 23%가 됩니다. 실제 국민계정과 비슷한 값입니다. δ를 이렇게 잡는 근거가 바로 이 대조입니다.

셋째, 충격의 시계열 특성을 추정합니다. 생산성 자료에 AR(1)을 적합하면 지속성 ρ_A와 충격 크기 σ_ε이 함께 나옵니다. ρ_A = 0.95면 오늘의 생산성 충격 가운데 95%가 다음 분기에도 남는다는 뜻입니다.

분기 자료 기준으로 자주 인용되는 값입니다. 국가와 표본 기간에 따라 달라지므로 그대로 옮겨 쓰지 않습니다.

시뮬레이션 — 가상의 경기변동을 만들어 본다

파라미터가 정해지면 λ가 정해지고, λ가 정해지면 정책함수의 a₁~a₄가 정해집니다. 이제 난수로 충격 ε을 만들어 AR(1)에 넣고, 나온 생산성 경로를 정책함수에 통과시키면 자본·소비·산출·투자의 가상 시계열이 나옵니다.

그리고 이 가상 자료를 실제 자료와 나란히 놓고 비교합니다. 각 변수의 변동성, 산출과의 상관관계, 자기상관이 주된 비교 대상입니다. RBC 연구에서 가장 자주 인용되는 사실은 변동성의 순서입니다.

개인이 소비를 시간에 걸쳐 고르게 펴려 하기 때문에 소비는 산출보다 잔잔하고, 그 완충 역할을 투자가 떠안기 때문에 투자는 산출보다 크게 흔들립니다. 모형이 이 순서를 재현하는지가 첫 관문입니다.

캘리브레이션과 추정

캘리브레이션은 선행연구나 장기평균, 정상상태 조건을 근거로 값을 합리적으로 부여하는 방식입니다. 반면 추정은 관측된 자료가 가장 잘 나오도록 통계적으로 값을 찾는 방식이고, 현대 DSGE에서는 베이지안 추정으로 파라미터의 사후분포를 구하는 경우가 많습니다.

1. 캘리브레이션 — 타당한 값을 부여→
2. 추정 — 자료로 값을 찾음

두 방식이 배타적인 것은 아닙니다. α나 δ처럼 장기 비율에서 곧바로 읽히는 것은 캘리브레이션으로 고정하고, ρ나 σ_ε처럼 자료가 강하게 말해 주는 것은 추정으로 두는 절충이 흔합니다.